信号与系统

引言：信号与系统是什么？

本文旨在梳理信号与系统的核心概念，从基本信号类型、系统特性到重要的分析工具如卷积和傅里叶级数。

一、信号 (Signals)

信号是信息的载体，理解其特性和基本类型是分析系统的基础。

1. 信号的基本概念与性质

a. 连续时间信号与离散时间信号

• 连续时间信号 (Continuous-Time Signal)：定义在连续时间轴上的信号，自变量 $t$ 是连续的。通常表示为 $x(t)$。
• 离散时间信号 (Discrete-Time Signal)：仅在离散时间点上有定义的信号，自变量 $n$ 是整数。通常表示为 $x[n]$。

在本章内容的讨论中，我们首先关注连续时间信号，后续会引入离散时间信号的概念。

b. 信号的基本性质

• 周期性 (Periodicity)：
  • 连续时间信号：如果一个信号 $x(t)$ 满足 $x(t) = x(t+T)$ 对所有 $t$ 和某个正常数 $T$ 成立，则称该信号是周期的，最小的这样的 $T$ 称为基波周期。
  • 离散时间信号：如果一个信号 $x[n]$ 满足 $x[n] = x[n+N]$ 对所有 $n$ 和某个正整数 $N$ 成立，则称该信号是周期的，最小的这样的 $N$ 称为基波周期。
• 奇偶性 (Even and Odd Symmetry)：
  • 偶信号 (Even Signal)：$x(-t) = x(t)$ (连续时间) 或 $x[-n] = x[n]$ (离散时间)
  • 奇信号 (Odd Signal)：$x(-t) = -x(t)$ (连续时间) 或 $x[-n] = -x[n]$ (离散时间) 任何信号都可以分解为其偶分量和奇分量之和：$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$，其中 $x_e(t) = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]$，$x_o(t) = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)]$。对于离散时间信号同理。

2. 基本信号与奇异函数

a. 基本周期与非周期信号

• 指数信号 (Exponential Signals)

  • 连续时间：$x(t) = Ce^{at}$ (其中 $C$ 和 $a$ 通常为复数)
  • 离散时间：$x[n] = C\alpha^n$ (其中 $C$ 和 $\alpha$ 通常为复数)

• 正弦信号与复指数信号 (Sinusoidal and Complex Exponential Signals)

  • 连续时间周期复指数信号:

    $$x(t) = e^{j\omega_0t}$$

    我们称 $\omega_0$ 为 基波角频率。其周期为 $T = 2\pi/|\omega_0|$ (当 $\omega_0 \neq 0$)。

    关于连续时间复指数信号的周期性证明

    令 $e^{j\omega_0t} = e^{j\omega_0(t + T)}$，有 $e^{j\omega_0T} = 1$。

    根据欧拉公式，$e^{j\omega_0T} = \cos(\omega_0T) + j\sin(\omega_0T) = 1$。

    这意味着 $\cos(\omega_0T)=1$ 且 $\sin(\omega_0T)=0$。

    因此，$\omega_0T$ 必须是 $2\pi$ 的整数倍，即 $\omega_0T = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$。

    • 若 $\omega_0 = 0$，则 $x(t) = 1$，是周期信号，但周期未明确定义（或任意周期）。
    • 若 $\omega_0 \neq 0$，则最小正周期 $T = \frac{2\pi}{|\omega_0|}$ (对应 $k=1$ 或 $k=-1$ 取绝对值)。

  • 连续时间正弦信号:

    $$x(t) = A\cos(\omega_0t + \phi)$$

    正弦信号是周期的，周期为 $T = 2\pi/|\omega_0|$。

  • 离散时间周期复指数信号:

    $x[n] = e^{j\Omega_0n}$。该信号是周期的当且仅当 $\Omega_0/(2\pi)$ 是一个有理数。若 $\Omega_0/(2\pi) = M/N$ (其中 $M, N$ 为整数且 $N>0$，为最简分数)，则基波周期为 $N$。

  • 谐波关系 (Harmonic Relationship):

    一组成谐波关系的复指数信号集合，是指所有信号的频率都是某个基波频率 $\omega_0$ (或 $\Omega_0$) 的整数倍。例如，对于连续时间信号，集合 $\{\dots, e^{-j2\omega_0t}, e^{-j\omega_0t}, 1, e^{j\omega_0t}, e^{j2\omega_0t}, \dots \}$ 中的信号具有谐波关系。这些信号都是周期的，并且具有公共周期 $T_0 = 2\pi/\omega_0$ (或其整数倍)。

b. 奇异函数 (Singularity Functions)

奇异函数是在数学和工程中非常有用的理想化函数，它们在某些点上表现出不寻常的行为（如不连续或导数不存在）。

• 单位冲激函数 (Unit Impulse Function)

  • 连续时间 (狄拉克$\delta$函数): $\delta(t)$ 单位冲激函数是理解 LTI 系统特性（冲激响应）和信号采样的核心。
    • 直观理解：可以将其视为一个宽度极小、高度极大，但面积始终为1的脉冲。 考虑一个矩形脉冲 $p_\Delta(t)$： $$p_\Delta(t) = \begin{cases} \frac{1}{\Delta}, & 0 < t < \Delta \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$ 这个脉冲的面积是 $\frac{1}{\Delta} \cdot \Delta = 1$。 单位冲激函数可以看作是当 $\Delta \to 0$ 时 $p_\Delta(t)$ 的极限： $$\delta(t) = \lim_{\Delta \to 0} p_\Delta(t)$$ 在 $t=0$ 时，$\delta(0) = \infty$；在 $t \neq 0$ 时，$\delta(t) = 0$。
    • 严格定义 (通过积分性质)：$\delta(t)$ 不是传统意义上的函数，而是一个广义函数或分布。它通常通过其作用于其他“良好”测试函数 $\phi(t)$ 的积分来定义：
      1. $\delta(t) = 0$ 对于 $t \neq 0$
      2. $\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$ (面积为1)
    • 筛选特性 (Sifting Property)：这是冲激函数最重要的性质。对于在 $t=t_0$ 处连续的任何函数 $g(t)$： $$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\delta(t-t_0) dt = g(t_0)$$ 特别地，$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t)\delta(t) dt = g(0)$。
    • 其他性质：
      • $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$ (尺度变换)
      • $g(t)\delta(t-t_0) = g(t_0)\delta(t-t_0)$ (如果 $g(t)$ 在 $t_0$ 处连续)
      • $\delta(t)$ 是一个偶函数：$\delta(-t) = \delta(t)$。
  • 离散时间 (单位采样序列): $\delta[n]$ $$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}$$
    • 筛选特性: 对于任意序列 $x[n]$: $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[n-k] = x[n]$$ 特别地，$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]\delta[k] = x[0]$。

• 单位阶跃函数 (Unit Step Function)

  • 连续时间: $u(t)$

    $$u(t) = \begin{cases} 1, & t > 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$$

    在 $t=0$ 处的值有时定义为 $0.5$，有时未定义，或根据上下文取 $0$ 或 $1$。

    • 与冲激函数的关系：

      $u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau$ $\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$ (在广义函数意义下)

  • 离散时间: $u[n]$

    $$u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$
    • 与单位采样序列的关系: $u[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] = \sum_{m=0}^{\infty} \delta[n-m]$ $\delta[n] = u[n] - u[n-1]$

• 单位斜坡函数 (Unit Ramp Function)

  • 连续时间: $r(t)$

    $$r(t) = t u(t) = \begin{cases} t, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}$$

    它是单位阶跃函数的积分：$r(t) = \int_{-\infty}^{t} u(\tau) d\tau$。

    其导数是单位阶跃函数：$\frac{dr(t)}{dt} = u(t)$ (对于 $t \neq 0$)。

  • 离散时间: $r[n]$

    $$r[n] = n u[n] = \begin{cases} n, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

二、系统 (Systems)

系统是对信号进行处理或变换的实体。理解系统的特性对于分析其行为至关重要。

1. 系统基本概念与性质

• 概述：系统可以由一个或多个输入信号以及一个或多个输出信号来描述。我们主要关注单输入单输出 (SISO) 系统。
• 主要性质：
  • 线性 (Linearity)：满足叠加原理。如果输入 $x_1(t) \to y_1(t)$ 和 $x_2(t) \to y_2(t)$，则对于任意常数 $a, b$，有 $ax_1(t) + bx_2(t) \to ay_1(t) + by_2(t)$。
  • 时不变性 (Time-Invariance)：系统的行为不随时间变化。如果输入 $x(t) \to y(t)$，则 $x(t-t_0) \to y(t-t_0)$ 对任意 $t_0$ 成立。
  • 因果性 (Causality)：系统在任意时刻的输出仅取决于当前和过去的输入，不取决于未来的输入。
  • 稳定性 (Stability)：有界输入产生有界输出 (BIBO 稳定)。如果输入 $|x(t)| \le M_x < \infty$，则输出 $|y(t)| \le M_y < \infty$。

2. 线性时不变 (LTI) 系统

LTI 系统因其数学上的易处理性和广泛的应用性而特别重要。

• 定义与重要性：同时满足线性和时不变性的系统称为 LTI 系统。许多物理过程可以近似为 LTI 系统。
• 冲激响应 (Impulse Response)：LTI 系统对单位冲激输入的响应。
  • 连续时间 LTI 系统的冲激响应 $h(t)$：当输入为 $\delta(t)$ 时，系统的输出为 $h(t)$。
  • 离散时间 LTI 系统的冲激响应 $h[n]$：当输入为 $\delta[n]$ 时，系统的输出为 $h[n]$。 冲激响应 $h(t)$ 或 $h[n]$ 完全表征了一个 LTI 系统。

3. LTI 系统的时域分析：卷积 (Convolution)

卷积是描述 LTI 系统输出的核心运算。它表明，LTI 系统对任意输入的响应，可以通过输入信号与系统冲激响应的卷积来得到。

a. 连续时间卷积

• 定义与计算：对于一个输入信号为 $x(t)$，冲激响应为 $h(t)$ 的连续时间 LTI 系统，其输出 $y(t)$ 为 $x(t)$ 与 $h(t)$ 的卷积，记为 $y(t) = x(t) * h(t)$： $$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$ 这个积分也称为卷积积分。
• 卷积的意义：它将输入信号分解为一系列加权和移位的冲激信号，然后利用系统的线性和时不变性，将各个冲激响应叠加得到总输出。
• 卷积的性质：
  • 交换律：$x(t) * h(t) = h(t) * x(t)$
  • 结合律：$[x_1(t) * x_2(t)] * x_3(t) = x_1(t) * [x_2(t) * x_3(t)]$
  • 分配律：$x_1(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = x_1(t) * h_1(t) + x_1(t) * h_2(t)$

b. 离散时间卷积

• 定义与计算：对于一个输入信号为 $x[n]$，冲激响应为 $h[n]$ 的离散时间 LTI 系统，其输出 $y[n]$ 为 $x[n]$ 与 $h[n]$ 的卷积，记为 $y[n] = x[n] * h[n]$： $$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]$$ 这个求和也称为卷积和。
• 卷积的意义：与连续时间类似，它表示输入序列的每个样本点通过系统后的响应的叠加。
• 卷积的性质：同样满足交换律、结合律和分配律。

三、周期信号的频域分析：傅里叶级数 (Fourier Series for Periodic Signals)

傅里叶级数是将一个周期信号表示为一系列具有谐波关系的复指数信号（或正弦和余弦信号）的加权和。这是从时域到频域分析周期信号的基础。

1. 连续时间周期信号的傅里叶级数 (Continuous-Time Fourier Series - CTFS)

a. 核心思想

任何“行为良好”的周期信号 $x(t)$（周期为 $T_0$，基波角频率 $\omega_0 = 2\pi/T_0$）都可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量的叠加。

b. 复指数形式的傅里叶级数

周期信号 $x(t)$ 可以表示为（综合式）：

$$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0t} \quad \quad (\text{CTFS Synthesis})$$

其中：

• $k$ 是整数，代表谐波次数 ($k=0$ 是直流分量，$k=\pm 1$ 是基波分量，$k=\pm 2$ 是二次谐波，以此类推)。
• $e^{jk\omega_0t}$ 是一组成谐波关系的复指数基函数。
• $a_k$ 是复傅里叶级数系数，表示第 $k$ 次谐波的复振幅（包含幅度和相位信息）。

傅里叶级数系数 $a_k$ 通过以下分析式计算：

$$a_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t)e^{-jk\omega_0t} dt \quad \quad (\text{CTFS Analysis})$$

积分区间可以是任意一个周期 $T_0$ (例如从 $0$ 到 $T_0$，或从 $-T_0/2$ 到 $T_0/2$)。

傅里叶级数系数 $a_k$ 的推导

为了求解系数 $a_k$，我们将综合式两边乘以 $e^{-jn\omega_0t}$ (其中 $n$ 是某个特定的整数)，然后在一个周期 $T_0$ 上积分：

$$\int_{T_0} x(t)e^{-jn\omega_0t} dt = \int_{T_0} \left( \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega_0t} \right) e^{-jn\omega_0t} dt$$

假设可以交换积分和求和的顺序：

$$\int_{T_0} x(t)e^{-jn\omega_0t} dt = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k \int_{T_0} e^{j(k-n)\omega_0t} dt$$

考虑积分项 $\int_{T_0} e^{j(k-n)\omega_0t} dt$：

• 当 $k = n$ 时：$\int_{T_0} e^{j(0)\omega_0t} dt = \int_{T_0} 1 dt = T_0$

• 当 $k \neq n$ 时：令 $m = k-n \neq 0$。 $\int_{T_0} e^{jm\omega_0t} dt = \left[ \frac{1}{jm\omega_0}e^{jm\omega_0t} \right]_{t_1}^{t_1+T_0} = \frac{1}{jm\omega_0}e^{jm\omega_0t_1}(e^{jm\omega_0T_0} - 1)$

  因为 $\omega_0T_0 = 2\pi$，所以 $e^{jm\omega_0T_0} = e^{jm2\pi} = 1$。

  因此，当 $k \neq n$ 时，$\int_{T_0} e^{j(k-n)\omega_0t} dt = 0$。 这个性质称为复指数信号集 $\{e^{jk\omega_0t}\}$ 在一个周期上的正交性。 所以，在求和式中，只有当 $k=n$ 时积分项不为零：

$$\int_{T_0} x(t)e^{-jn\omega_0t} dt = a_n T_0$$

因此，傅里叶级数系数 $a_n$ (将 $n$ 替换回 $k$) 为分析式。

c. 三角形式的傅里叶级数

利用欧拉公式，并且注意到对于实信号 $x(t)$，有 $a_{-k} = a_k^*$ (共轭对称性)，复指数形式可以转换为三角形式：

$$x(t) = A_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} [A_k \cos(k\omega_0t) + B_k \sin(k\omega_0t)]$$

或者

$$x(t) = C_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} C_k \cos(k\omega_0t + \phi_k)$$

其中系数 $A_0, A_k, B_k$ 或 $C_0, C_k, \phi_k$ 可以通过 $a_k$ 导出：

• $A_0 = a_0 = C_0$ (直流分量)

• $A_k = a_k + a_{-k} = 2\Re\{a_k\}$ (对于 $k \ge 1$)

• $B_k = j(a_k - a_{-k}) = -2\Im\{a_k\}$ (对于 $k \ge 1$)

• $C_k = 2|a_k|$ (对于 $k \ge 1$)

• $\phi_k = \angle a_k$ (对于 $k \ge 1$)

  (注意：这里 $\cos(A+B)$ 展开后，如果 $a_k = |a_k|e^{j\angle a_k}$，则 $C_k \cos(k\omega_0t + \phi_k)$ 对应的是 $a_k e^{jk\omega_0t} + a_{-k}e^{-jk\omega_0t}$。更常见的定义是 $a_k = \frac{A_k - jB_k}{2}$，则 $C_k = \sqrt{A_k^2 + B_k^2}$，$\phi_k = \text{atan2}(-B_k, A_k)$。或者，若 $x(t) = C_0 + \sum C_k \cos(k\omega_0 t - \theta_k)$, 则 $a_k = \frac{C_k}{2}e^{-j\theta_k}$ for $k>0$, $a_0=C_0$, $a_k = a_{-k}^*$.)

通常，我们直接使用 $a_k$ 来描述频谱：

• $|a_k|$：第 $k$ 次谐波的幅度谱。
• $\angle a_k$：第 $k$ 次谐波的相位谱。
• $k=0$ 时，$a_0 = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)dt$ 是信号的平均值或直流分量。

d. 傅里叶级数的存在条件 (狄利克雷条件 Dirichlet Conditions)

如果周期信号 $x(t)$ 在一个周期内满足狄利克雷条件：

1. 绝对可积：$\int_{T_0} |x(t)| dt < \infty$。
2. 只有有限个极大值和极小值。
3. 只有有限个第一类间断点（跳变间断点）。

则 $x(t)$ 的傅里叶级数收敛。在 $x(t)$ 的连续点处，级数收敛于 $x(t)$；在间断点处，级数收敛于该点左右极限的平均值 $\frac{1}{2}[x(t^+) + x(t^-)]$。

2. 离散时间周期信号的傅里叶级数 (Discrete-Time Fourier Series - DTFS or DFS)

对于周期为 $N$ 的离散时间信号 $x[n]$ (即 $x[n] = x[n+N]$ 对所有 $n$ 成立)，它也可以表示为一组谐波相关的复指数序列的线性组合。

a. 综合式与分析式

• 综合式 (Synthesis Equation):

  $$x[n] = \sum_{k=\langle N \rangle} a_k e^{j k \Omega_0 n} = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{j k (2\pi/N) n}$$

  其中 $\Omega_0 = 2\pi/N$ 是离散时间基波角频率。求和 $\sum_{k=\langle N \rangle}$ 表示对任意 $N$ 个连续整数 $k$ 进行求和 (通常取 $k=0, 1, \dots, N-1$)。

• 分析式 (Analysis Equation):

  $$a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=\langle N \rangle} x[n] e^{-j k \Omega_0 n} = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j k (2\pi/N) n}$$

  求和 $\sum_{n=\langle N \rangle}$ 表示对任意 $N$ 个连续整数 $n$ (通常是信号的一个周期 $n=0, 1, \dots, N-1$) 进行求和。

b. 系数 $a_k$ 的性质

• 周期性: 傅里叶级数系数 $a_k$ 本身也是周期为 $N$ 的序列，即 $a_{k+N} = a_k$。这意味着对于一个周期为 $N$ 的离散时间信号，其傅里叶级数只有 $N$ 个独立的不相同的系数 (例如 $a_0, a_1, \dots, a_{N-1}$)。

c. 与 CTFS 的类比

DTFS 在概念上与 CTFS 非常相似：

• 都是将周期信号分解为谐波相关的复指数之和。
• CTFS 的基函数 $e^{jk\omega_0t}$ 有无限多个且互不相同。
• DTFS 的基函数 $e^{jk(2\pi/N)n}$ 只有 $N$ 个互不相同的 (因为 $e^{j(k+N)(2\pi/N)n} = e^{jk(2\pi/N)n}e^{j2\pi n} = e^{jk(2\pi/N)n}$)。
• CTFS 的积分对应 DTFS 的求和。