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lec4:

保持函数凸性的操作

非负加权和

非负积分

仿射映射

两个函数的极大值函数

推广：任意多个函数的极大值函数

函数的组合

要点

考虑简单情况：一维 $n = k = 1$ ，全空间， $h, g$ 均为二阶可微（凸 $\leftrightarrow f''(x)\ge 0$ ）
$f'(x) = h'(g(x)) g'(x) \\ f''(x) = h''(g(x))(g'(x))^2 + h'(g(x))g''(x)$
若 $g$ 为凸（ $g''(x) \ge 0$ ， $h$ 为凸且不降 $h''(g(x))\ge 0, h'(g(x))\ge 0$ ，则 $f''(x)\ge 0$

凹，凸，不增 $\to\ f$ 凸

凹，凹，不降 $\to\ f$ 凹

凸，凹，不增 $\to\ f$ 凹
扩展到复杂情况：高维，非全空间（凸扩展或凹扩展）， $h, g$ 均不二阶可微

$g$ 凸， $h$ 凸且 $\widetilde{h}$ 不降，则 $f$ 为凸（类似上面）

透视函数

函数的共轭(conjugate)

凸集与凸函数的关系

说明

$\alpha$ 次水平集 ( $\alpha - sublevel\ set$ )

对于函数 $f: R^n \to R$ ，定义其 $\alpha$ 次水平集为

C_{\alpha} = \{x\in{\rm dom }\ f | f(x)\le \alpha \}

凸函数的 $\alpha$ 次水平集为凸集
$\forall x, y \in C_{alpha} \to f(x)\le \alpha, f(y)\le \alpha, \forall \theta \in [0, 1] \\ f(\theta x + (1 - \theta)y) \le \theta f(x) + (1 - \theta)f(y) \le \alpha$
若函数 $\alpha$ 次水平集均为凸集，该函数并不一定为凸集（例如 $-e^x$ ）